PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
Para calcular las probabilidades de varios eventos es necesario contar el numero de resultados posibles de un experimento, o contar el numero de resultados que son favorables a un evento dado. el proceso de conteo puede simplificarse mediante el empleo de dos técnicas de conteo denominadas permutaciones y combinaciones.
Permutaciones: una permutación es un arreglo en orden particular, de los objetos que forman un conjunto. Por ejemplo: considere las diferentes formas en que pueden situarse las letras a, b, c. los seis arreglos o permutaciones son:
Abc, acb, bac, bca, cab, cba.
El numero de resultados posibles es 6, 3*2*1=6. Empleando el mismo razonamiento, el numero total de maneras en que pueden arreglarse las letras a, b, c, d es 4*3*2*1=24. En general, el numero de permutaciones de “n” objetos diferentes es:
n(n-1)(n-2)…(2)(1).
El producto de un entero positivo por todos los que le preceden se denota por n! y se lee “n factorial”. Por ejemplo: 2!=2*1=2, 3!=3*2*1=6, 4!=4*3*2*1=24, etc. Notese que de la ecuación anterior se tiene:
n(n-1)!=n!
(n-1)!=n!/n
De esta manera, cuando n=1, se define a 0!=1.
En este punto se examinan las permutaciones de “n” objetos, si únicamente k<n de estos se emplean en cualquier ordenamiento. Igualmente, para la primera posición se puede seleccionar cualquiera de los n objetos, para la segunda uno de los restantes n-1, y se continua el procedimiento hasta la r-esima posición. N este momento se han empleado k-1 objetos, quedando n-(k-1), a partir de los cuales se hace la selección. Por lo tanto, el numero de permutaciones de “n” objetos si se toman “k” a la vez es:
P(n,k)=n(n-1)(n-2)……(n-k+1)(n-k+1)!
Nota: se lee como: permutaciones es arreglo de n objetos, tomando k a la vez en los que si importa el orden
P(n,k)=n!/(n-k)!
Ejemplo:
Considera un alfabeto con: {a,e,b,c,r,s}, ¿Cuántas palabras son posibles formar?
P(6,1)=6!/(6-1)!=6 P(6,4)=6!/(6-4)!=360
P(6,2)=6!/(6-2)!=30 P(6,5)=6!/(6-5)!=720
P(6,3)=6!/(6-3)!=120 p(6,6)=6!/(6-6)!=720
El numero de palabras formadas es:
6+30+120+360+720+720=1956
Combinaciones: una combinación de los objetos de un conjunto es una selección de estos sin importar el orden. Se entenderá por el número de combinaciones de “k” objetos tomados de un conjunto que contiene a n de estos, al número total de selecciones distintas en las que cada una de estas contiene “k” objetos.
Dado que la relación de una permutación con una combinación es:
P(n,k)=k!C(n,k) tenemos que: C(n,k)=n!/(n-k)!k!
Ejemplo: Se tiene una baraja de 52 cartas, formada por 13 sotas, 13 espadas, 13 oros, 13 bastos. ¿Cuál es la probabilidad tres cartas de la baraja y que resulten ser de espadas?
A= salen 3 cartas de espada
S= salen 3 cartas cualquiera
P(A)= C(13,3)=13!/3!(13-3)!=286
P(S)=C(52,3)=52!/3!(52-3)!=22100
P(A)=N(A)/N(S)=286/22100=0.013
Ejemplo: El mismo caso del ejemplo anterior, pero ahora que resulten al menos dos cartas de espadas
A1= Salen tres espadas
A2= Salen dos espadas y una de cualquier otro tipo
S= Salen tres cartas cualquiera
P(A1)=286/22100
P(A2)=N(A2)/N(S)=C13,2*C39,1/C52,3=13!/2!(13-2)!*39!/1!(39-1)!/22100
P(A2)=78*39/22100=3042/22100
P(A1)=286/22100+3042/22100=3328/22100
